Question

4．過P（2，1）且兩兩互相垂直的直線l₁，l₂分別交橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1于A，B與C，D．
（1）求|PA|•|PB|的最值；
（2）求證：$\frac{1}{|PA||PB|}$+$\frac{1}{|PC||PD|}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意設出直線l₁的參數(shù)方程，代入橢圓方程，利用韋達定理求得t_A•t_B=-$\frac{8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，由|PA|•|PB|=$\frac{8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$=$\frac{8}{1+3si{n}^{2}θ}$，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求得|PA|•|PB|的最值；
（2）由l₁⊥l₂，求得l₂的參數(shù)方程，并根據(jù)韋達定理求得|PC|•|PD|=丨t_C•t_D丨=$\frac{8}{1+3co{s}^{2}θ}$，表示出$\frac{1}{|PA||PB|}$+$\frac{1}{|PC||PD|}$，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系即可求證$\frac{1}{|PA||PB|}$+$\frac{1}{|PC||PD|}$為定值．

解答 解：（1）設直線l₁的傾斜角為θ，則l₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
代入橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$中，整理得：（cos²θ+4sin²θ）t²+（4cosθ+8sinθ）t-8=0，
∴由韋達定理可知：t_A•t_B=-$\frac{8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
∴|PA|•|PB|=$\frac{8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$=$\frac{8}{1+3si{n}^{2}θ}$，
故|PA|•|PB|的最大值為8，最小值為2．
證明：（2）∵l₁⊥l₂，不妨設l₁的傾斜角小于l₂的傾斜角，
則l₂的傾斜角為$\frac{π}{2}$+θ，
因此直線l₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcos（\frac{π}{2}+θ）}\\{y=1+tsin（\frac{π}{2}+θ）}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
代入橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
整理得：（sin²θ+4cos²θ）t²+4（2cosθ-sinθ）t-8=0，
∴|PC|•|PD|=丨t_C•t_D丨=$\frac{8}{1+3co{s}^{2}θ}$，
∴$\frac{1}{|PA||PB|}$+$\frac{1}{|PC||PD|}$=$\frac{1+3si{n}^{2}θ}{8}$+$\frac{1+3co{s}^{2}θ}{8}$=$\frac{5}{8}$，
∴$\frac{1}{|PA||PB|}$+$\frac{1}{|PC||PD|}$為定值．

點評 本題考查直線的參數(shù)方程，直線與橢圓的位置關系，韋達定理及正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查轉化思想，屬于中檔題．