Question

如圖1，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥DB，其中三棱錐P-BCD的三視圖如圖2所示，且sin∠BDC=

3

5

（I）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）若AD=6，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AD⊥PD，AD⊥DB，從而AD⊥PD，又AD⊥DB，進(jìn)而AD⊥平面PBD，由此能證明AD⊥PB．
（Ⅱ）根據(jù)四棱錐的體積公式求出相應(yīng)的底面積和高即可得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：由三視圖得PD⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴AD⊥PD，
又AD⊥DB，且PD∩BD=D，PD，BD?平面PBD，
∴AD⊥PD，又AD⊥DB，且PD∩BD=D，
PD、BD?平面PBD，
∴AD⊥平面PBD，
又PB?平面PBD，
∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：由三視圖可知PD=4，DC=3，BD=3，
若sin∠BDC=

3

5

，則三角形BCD的面積S=

1

2

DC•DBsin∠BDC=

1

2

×3×3×

3

5

=

27

10

，
∵AD⊥DB，
∴三角形ADB的面積S=

1

2

AD•DB=

1

2

×6×3=9，
則四棱錐的底面積S=9+

27

10

=

117

10

，
則四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×

117

10

×4=

78

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的判斷和性質(zhì)，以及空間四棱錐的體積的計(jì)算，根據(jù)三視圖確定對(duì)應(yīng)四棱錐的邊長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．