Question

已知函數(shù)f（x）=x²+1，若存在x∈R，使得不等式f²（x）+x[f（x）+x]-af（x）[f（x）+x]≤0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：把f（x）=x²+1，代入化簡(jiǎn)，分離參數(shù)得a≥

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

，求出函數(shù)g（x）的最小值即可．

解答： 解：∵f（x）=x²+1，f²（x）+x[f（x）+x]-af（x）[f（x）+x]≤0成立，
∴（x²+1）²+x（x²+1+x）-a（x²+1）（x²+1+x）≤0，
∵x²+1＞0，x²+1+x＞0，
∴a≥

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

在x∈R，恒成立
設(shè)g（x）=

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

，
則g′（x）=

x2-1

(x2+x+1)2

+

1-x2

(x2+1)2

=（x²-1）（

1

(x2+x+1)2

-

1

(x2+1)2

）=（x²-1）（

1

x2+x+1

+

1

x2+1

）（

1

x2+x+1

-

1

x2+1

）
=-x（x²-1）（

1

x2+x+1

+

1

x2+1

）（

1

(x2+x+1)(x2+1)

），
令g′（x）=0，解得x=0，x=1，x=-1，
當(dāng)g′（x）＞0，解得x＜-1，或0＜x＜1，函數(shù)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0，解得x＞1，或-1＜x＜0，函數(shù)遞減，
所以當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)有極小值，
又∵g（x）=0的解為只有一個(gè)x=0
∴x=0是函數(shù)的最小值
g（0）=1
∴a≥1，
故答案為[1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立的問題，方法是分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題