Question

F₂是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（2，2）在橢圓內(nèi)，點(diǎn)M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求|MA|+|MF₂|的最大值、最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：橢圓左焦點(diǎn)設(shè)為F₁，連接MF₁．利用橢圓的定義以及在三角形中，兩邊之差總小于第三邊，當(dāng)A、M、F₁成一直線時(shí)，|MA|-|MF₁|最大，求解即可．利用|MA|+|MF₂|=|MA|+10-|MF₁|=10-（|MF₁|-|MA|）≥10-|AF₁|，即可得出其最小值．

解答： 解：橢圓左焦點(diǎn)設(shè)為F₁（-4，0），連接MF₁．
|MA|+|MF₂|=|MA|+2a-|MF₁|=10+|MA|-|MF₁|．
即|MA|-|MF₁|最大時(shí)，|MA|+|MF₂|最大．
在△AMF₁中，兩邊之差總小于第三邊，所以當(dāng)A、M、F₁成一直線時(shí)，|MA|-|MF₁|最大，
|MA|-|MF₁|=|AF₁|=2

10

．
所以|MA|+|MF₂|的最大值是10+2

10

．
∵|AF₁|=

(2+4)2+22

=2

10

．
|MA|+|MF₂|=|MA|+10-|MF₁|=10-（|MF₁|-|MA|）≥10-|AF₁|=10-2

10

，
其最小值為10-2

10

．

點(diǎn)評：本題主要考查圓錐曲線的定義的應(yīng)用，在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．