Question

已知x=-2是函數(shù)f（x）=

1

2

x²e^x+nx³的一個極值點，其中n∈R．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若當x∈[-2，2]時，不等式f（x）＞m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′(x)=xex+

1

2

x2ex+3nx2，由題意知f′（-2）=-2e^-2+2e^-2+12n=0，解得n=0，由此能求出f（x）單調區(qū)間．
（2）f（x）=

1

2

x²e^x，由導數(shù)性質求出當x∈[-2，2]時，f（x）_min=0，由題意得到m＜f（x）_min=0．由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²e^x+nx³，∴f′(x)=xex+

1

2

x2ex+3nx2，
∵x=-2是函數(shù)f（x）=

1

2

x²e^x+nx³的一個極值點，
∴f′（-2）=-2e^-2+2e^-2+12n=0，解得n=0，
由f′(x)=xex+

1

2

x2ex＞0，得x＞0，或x＜-2，
由f′(x)=xex+

1

2

x2ex＜0，得-2＜x＜0．
∴f（x）單調增區(qū)間為（-∞，-2）和（0，∞）；單調減區(qū)間為（-2，0）．
（2）由（1）知f（x）=

1

2

x²e^x，x∈[-2，0）時，f（x）是減函數(shù)，
x∈（0，2]時，f（x）是增函數(shù)，
f（-2）=

2

e2

，f（0）=0，f（2）=2e²，
∴當x∈[-2，2]時，f（x）_min=0，
當x∈[-2，2]時，不等式f（x）＞m恒成立，
∴m＜f（x）_min=0．
∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m＜0}．

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的能力，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．是中檔題．