Question

20．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{2}t}\\{y=-1+\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（2，-1），曲線C₁與曲線C₂交于A，B，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{2}t}\\{y=-1+\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），兩式相加消去參數(shù)t即可化為普通方程；由曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$，平方化為ρ²+3ρ²sin²θ=4，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（{t為參數(shù)}）$代入C₂直角坐標(biāo)方程得$5{t^2}-12\sqrt{2}t+8=0$，利用MA|•|MB|=t₁•t₂即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{2}t}\\{y=-1+\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為x+y=1；
由曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$，平方化為ρ²+3ρ²sin²θ=4，∴x²+4y²=4，化為直角坐標(biāo)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（{t為參數(shù)}）$代入C₂直角坐標(biāo)方程得$5{t^2}-12\sqrt{2}t+8=0$，
∴${t_1}•{t_2}=\frac{8}{5}$，
∴MA|•|MB|=${t_1}•{t_2}=\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．