Question

15．“開門大吉”是某電視臺推出的游戲節(jié)目．選手面對1～8號8扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金．在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其猜對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示．
（1）寫出2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認為猜對歌曲名稱與否和年齡有關(guān)；說明你的理由；（下面的臨界值表供參考）

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（2）現(xiàn)計劃在這次場外調(diào)查中按年齡段選取9名選手，并抽取3名幸運選手，求3名幸運選手中在20～30歲之間的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）利用已知條件直接寫出2×2列聯(lián)表；求出K²，即可判斷是否有90%的把握認為猜對歌曲名稱與否和年齡有關(guān)；
（2）設(shè)3名選手中在20～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，3，20～30歲之間的人數(shù)是3人，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）

年齡/正誤	正確	錯誤	合計
20～30	10	30	40
30～40	10	70	80
合計	20	100	120

$k=\frac{{120{{（70×10-30×10）}^2}}}{20×100×40×80}=3＞2.706$
有90%的把握認為猜對歌曲名稱與否和年齡有關(guān)．------（4分）
（2）設(shè)3名選手中在20～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，3----（5分）
20～30歲之間的人數(shù)是3人--------------（6分）
$P（ξ=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{20}{84}=\frac{5}{21}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{45}{84}=\frac{15}{28}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{18}{84}=\frac{3}{14}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$-------（10分）

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

--------------------（11分）
E（ξ）=$0×\frac{5}{21}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{14}+3×\frac{1}{84}$=1------（12分）

點評 本題考查對立檢驗以及離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查計算能力．