Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，E為PD中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求證：平面PBC⊥平面PAB；
（3）設(shè)PA=1，AD=2，三棱錐P-ACD的體積V=$\frac{1}{3}$，求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；
（2）要證平面PAB⊥平面PBC，證明BC⊥平面PAB即可；
（3）求出DC，PB，利用體積公式，即可求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO
因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，所以EO∥PB，
EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC；
（2）證明：由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
由于BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，
因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC；
 （3）解：設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h．
因?yàn)镻A=1，AD=2，三棱錐P-ACD的體積V=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2DC×1$=$\frac{1}{3}$，
所以DC=1，所以PB=$\sqrt{2}$，
因?yàn)槿�棱錐P-ACD的體積V=$\frac{1}{3}$，
所以三棱錐P-ACB的體積V=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×$2×\sqrt{2}$h=$\frac{1}{3}$，
所以h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、面面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查三棱錐P-ACD的體積，要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直．