Question

20．已知數(shù)列A_n：a₁，a₂，…a_n（n∈N*，n≥2）滿足a₁=a_n=0，當(dāng)2≤k≤n（k∈N^*）時(shí)，（a_k-a_k-1）²=1，令S（A_n）=$\sum_{i=1}^{n}$a_i．
（1）直接寫出S（A₅）的所有可能的值；
（2）求證：S（A_2k+1）的最大值為k²，其中k∈N^*；
（3）記S（A_n）的所有可能的值構(gòu)成的集合為Г_n，若0∈Г_n，求出n（n≥2）的所有取值構(gòu)成的集合．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)，即可滿足條件的數(shù)列A₅的所有可能情況．
（2）由題設(shè)，確定c₁，c₂，…，c_n-1的由前$\frac{n-1}{2}$項(xiàng)取1，后$\frac{n-1}{2}$項(xiàng)取-1時(shí)，S（A_n）最大，S（A_n）=（n-1）+（n-2）+…+$\frac{n+1}{2}$-（$\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{2}+$…
+2+1）=${\frac{（n-1）}{4}}^{2}$，即可得到S（A_2k+1）的最大值．
（3）由（2）可知，如果c₁，c₂，…，c_n-1的前$\frac{n-1}{2}$項(xiàng)中恰有t項(xiàng)cm1，cm2，…，cmt取-1，c₁，c₂，…，c_n-1的后$\frac{n-1}{2}$項(xiàng)中恰有t項(xiàng)cn1，cn2，…，cnt取1，
從（1）問發(fā)現(xiàn)：前4，5項(xiàng)和出現(xiàn)0∈Г_n；由前8，9項(xiàng)和出現(xiàn)0，此可知數(shù)列確定0∈Г_n時(shí)，n（n≥2）的所有取值構(gòu)成的集合．

解答 解：（1）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列A₅的所有可能情況有：
（1）0，1，2，1，0．此時(shí)S（A₅）=4；（2）0，1，0，1，0．此時(shí)S（A₅）=2；（3）0，1，0，-1，0．此時(shí)S（A₅）=0；（4）0，-1，-2，-1，0．此時(shí)S（A₅）=-4；（5）0，-1，0，1，0．此時(shí)S（A₅）=0；（6）0，-1，0，-1，0．此時(shí)S（A₅）=-2；
所以，S（A₅）的所有可能的值為：4，2，0，-2，-4
（2）由，（a_k-a_k-1）²=1
可設(shè)a_k-a_k-1=c_k-1，則c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），
因?yàn)閍_n-a_n-1=c_n-1，所以 a_n=a_n-1+c_n-1=a_n-2+c_n-2+c_n-1=…=a₁+c₁+c₂+…+c_n-2+c_n-1．
因?yàn)閍₁=a_n=0，所以c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n為奇數(shù)，c₁，c₂，…，c_n-1是由$\frac{n-1}{2}$個(gè)1和$\frac{n-1}{2}$個(gè)-1構(gòu)成的數(shù)列．
所以S（A_n）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_n-1）=（n-1）c₁+（n-2）c₂+…+2c_n-2+c_n-1．
則當(dāng)c₁，c₂，…，c_n-1的由前$\frac{n-1}{2}$項(xiàng)取1，后$\frac{n-1}{2}$項(xiàng)取-1時(shí)S（A_n）最大，此時(shí)
S（A_n）=（n-1）+（n-2）+…+$\frac{n+1}{2}$-（$\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{2}+$…+2+1）=${\frac{（n-1）}{4}}^{2}$
∴S（A_2k+1）的最大值為k²．
（3）記S（A_n）的所有可能的值構(gòu)成的集合為Г_n，
由題意a₁=a_n=0，當(dāng)2≤k≤n（k∈N^*）時(shí)，（a_k-a_k-1）²=1，∴a_k-a_k-1=±1
有（1）問可知，數(shù)列A_n：a₁，a₂，…a_n，對(duì)應(yīng)等于0，1，0，-1，…（n∈N*，n≥2）時(shí)，
前4或5項(xiàng)和出現(xiàn)0，前8或9項(xiàng)和出現(xiàn)0，前12或13項(xiàng)和出現(xiàn)0，
此可知數(shù)列n=4/5，n=8/9…．記S（A_n）的所有可能的值構(gòu)成的集合為Г_n，
若0∈Г_n，n（n≥2）的所有取值構(gòu)成的集合為{n∈N^*|4n或4n+1}（n≥2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的最值的求解，利用遞推數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度較大．