Question

18．已知函數f（x）=x+e^x-a，g（x）=ln（x+2）-4e^a-x，其中e為自然對數的底數，若存在實數x₀，使f（x₀）-g（x₀）=3成立，則實數a的值為（　�。�

• A． -ln2-1
• B． -1+ln2
• C． -ln2
• D． ln2

Answer 1

分析 令f（x）-g（x）=x+e^x-a-1n（x+2）+4e^a-x，運用導數求出y=x-ln（x+2）的最小值；運用基本不等式可得e^x-a+4e^a-x≥4，從而可證明f（x）-g（x）≥3，由等號成立的條件，從而解得a．

解答 解：令f（x）-g（x）=x+e^x-a-1n（x+2）+4e^a-x，
令y=x-ln（x+2），y′=1-$\frac{1}{x+2}$=$\frac{x+1}{x+2}$，
故y=x-ln（x+2）在（-2，-1）上是減函數，（-1，+∞）上是增函數，
故當x=-1時，y有最小值-1-0=-1，
而e^x-a+4e^a-x≥4，
（當且僅當e^x-a=4e^a-x，即x=a+ln2時，等號成立）；
故f（x）-g（x）≥3（當且僅當等號同時成立時，等號成立）；
故x=a+ln2=-1，
即a=-1-ln2．
故選：A．

點評 本題考查了導數的綜合應用及基本不等式的應用，同時考查了方程的根與函數的零點的關系應用，屬于中檔題．