Question

7．若函數(shù)f（x）=e^x+x³-$\frac{1}{2}x$-1的圖象上有且只有兩點P₁，P₂，使得函數(shù)g（x）=x³+$\frac{m}{x}$的圖象上存在兩點Q₁，Q₂，且P₁與Q₁、P₂與Q₂分別關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則實數(shù)m的取值集合是{$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{e}$}．

Answer 1

分析 設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），由關(guān)于原點對稱可得Q₁，Q₂的坐標(biāo)，分別代入f（x），g（x）的解析式，相加可得方程m=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x有且只有兩個不等的實根．令h（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x，求出導(dǎo)數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間和極值，即可得到所求m的值的集合．

解答 解：設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則Q₁（-x₁，-y₁），Q₂（-x₂，-y₂），
由題意可得y₁=e^x₁+x₁³-$\frac{1}{2}$x₁-1，-y₁=-x₁³-$\frac{m}{{x}_{1}}$，
即有y₁-y₁=e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁-1-$\frac{m}{{x}_{1}}$=0，
即為m=x₁e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁²-x₁，
同理可得m=x₂e^x₂-$\frac{1}{2}$x₂²-x₂，
即有方程m=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x有且只有兩個不等的實根．
令h（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x，導(dǎo)數(shù)為h′（x）=（x+1）e^x-x-1
=（x+1）（e^x-1），
由h′（x）=0，解得x=-1或x=0，
當(dāng)-1＜x＜0時，h′（x）＜0，h（x）遞減；
當(dāng)x＞0或x＜-1時，h′（x）＞0，h（x）遞增．
即有h（x）在x=0處取得極小值，且為0；
x=-1處取得極大值，且為$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{e}$．
則m=0或$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{e}$．
當(dāng)m=0時，xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x=0（x≠0）只有一解．
故答案為：{$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{e}$}．

點評 本題考查函數(shù)中參數(shù)的取值集合，注意運(yùn)用參數(shù)分離和轉(zhuǎn)化思想，考查對稱法和構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得極值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．