Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x，其中$a＜\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的極大值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，e）上僅有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-2時，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極大值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，e）上僅有一個零點，分類討論，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-2時，f（x）=lnx-2x²+3x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x+3=-$\frac{（x-1）（4x+1）}{x}$，
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=1時，函數(shù)取得極大值1；
（Ⅱ）因為f′（x）=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$
a=0，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減，f（1）=-1＜0，f（x）在區(qū)間（0，e）上沒有零點；
a＜0，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（x）在區(qū)間（0，e）上僅有一個零點，
∴f（e）≤0，∴1+ae²-（2a+1）e≤0，
∴a≤$\frac{e-1}{e（e-2）}$，
∴a＜0；
$\frac{1}{2}＞$a＞0，令f′（x）=0，x₁=1，x₂=$\frac{1}{2a}$＞1
因為f（1）＜0，f（x）在區(qū)間（0，e）上僅有一個零點，
∴f（e）≥0，∴1+ae²-（2a+1）e≥0，
∴a≥$\frac{e-1}{e（e-2）}$，∴$\frac{1}{2}＞$a＞0，
綜上所述，a＜$\frac{1}{2}$且a≠0．

點評 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基本知識，考查推理論證能力和運算求解能力，考查函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力．