Question

11．如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)已知定點(diǎn)F（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M，使得$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，延長(zhǎng)MP到點(diǎn)N，使得|$\overrightarrow{PM}$|=|$\overrightarrow{PN}$|
（1）當(dāng)|$\overrightarrow{OP}$|=1時(shí)，求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$；
（2）求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，M（-1，0），N（1，2），利用數(shù)量積公式求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$；
（2）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N，則M，P的坐標(biāo)可表示出，根據(jù)$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，利用數(shù)量積公式求得x和y的關(guān)系式，即N的軌跡方程．

解答 解：（1）由題意，M（-1，0），N（1，2），
∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（-2，0）•（0，2）=0；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（x，y），則M（-x，0），P（0，$\frac{y}{2}$）（x＞0）．
∵$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，
∴（-x，-$\frac{y}{2}$）•（1，-$\frac{y}{2}$）=0，
∴y²=4x（x＞0）即為所求．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，兩個(gè)向量的數(shù)量的運(yùn)算，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．