Question

20．設函數f（x）=（x-1）²-alnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（1）=2，求出a的值即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），--------------（1分）
f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$，---------------------（2分）
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，
∴f′（1）=a=2．----------------------------（4分）
（2）由于f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$，
所以令g（x）=2x²-2x+a，則△=4-8a，
（i）當△≤0，即a≥$\frac{1}{2}$時，g（x）≥0，從而f′（x）≥0，
故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；---------------------------（6分）
（ii）當△＞0，即a＜$\frac{1}{2}$時，g（x）=0的兩個根為x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
∵當$\sqrt{1-2a}$≥1，即a≤0時，x₁≤0，當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，x₁＞0．-----（8分）
∴①當a≤0時，由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，得x＞$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）＜0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，得：0＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
∴此時函數f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）上單調遞減，
在（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）上單調遞增；----------------（10分）
當②0＜a＜$\frac{1}{2}$時，由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，得：x＞$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$或0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）＜0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，得$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
∴此時函數f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$）和（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）上單調遞增，
在（$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）上單調遞減．-----------------（12分）

點評 本題考查了切線方差問題，考查函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．