5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）．若雙曲線上存在點P，使PF1=2PF2，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，3]．

分析 可用三角形的兩邊和大于第三邊，及兩邊差小于第三邊，但要注意前者可以取到等號成立，因為可以三點一線．也可用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系．

解答 解：設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，則有$\left\{\begin{array}{l}{x=2y}\\{x-y=2a}\end{array}\right.$，
解得x=4a，y=2a，
∵在△PF1F2中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a-2a＜2c，
∴1$＜\frac{c}{a}$＜3，
又因為當(dāng)三點一線時，4a+2a=2c，
綜合得離心率的范圍是（1，3]，
故答案為（1，3]．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了關(guān)于離心率范圍的確定．可以在平時的教學(xué)過程中總結(jié)常見的有關(guān)離心率的求法及范圍的求法．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．函數(shù)f（x）=$\frac{2}{\sqrt{3x+1}}$的定義域為（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．已知橢圓C；$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}$=1（0＜b＜4）的左右頂點分別為A、B，M為橢圓上的任意一點，A關(guān)于M的對稱點為P，如圖所示，
（1）若M的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，且點P在橢圓的右準(zhǔn)線上，求b的值；
（2）若以PM為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（m+n）=f（m）+f（n）-2對任意m、n∈R恒成立．當(dāng)x＞0時，f（x）＞2．
（1）求證：f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若f（-3）=-7，且不等式f（t2+at-a）≥-7對任意t∈[-2，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）2-alnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)，整理、分析數(shù)據(jù)得出“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并有99%的把握認(rèn)為這個結(jié)論是成立的，下列說法中正確的是（　�。�
A．吸煙人患肺癌的概率為99%
B．認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”犯錯誤的概率不超過1%
C．吸煙的人一定會患肺癌
D．100個吸煙人大約有99個人患有肺癌

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．已知f（x）=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x3（a＞0，且a≠1）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范圍，使f（x）＞0在定義域上恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．給定下列四個命題：
①若$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}$＜0，則b2＞a2；
②已知直線l，平面α，β為不重合的兩個平面，若l⊥α，且α⊥β，則l∥β；
③若-1，a，b，c，-16成等比數(shù)列，則b=-4；
④三棱錐的四個面可以都是直角三角形．
其中真命題編號是①③④（寫出所有真命題的編號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．已知α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），a=（cosα）cosα，b=（sinα）cosα，c=（cosα）sinα，則（　�。�
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b

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