Question

8．要建一個(gè)圓柱形無蓋的糧倉(cāng)，要求它的容積為500m³，問如何選擇它的直徑和高，才能使所用材料最�。�

Answer 1

分析 設(shè)圓柱的底面半徑，高，要求用料最省即圓柱的表面積最小，由題意可得表面積的表示式，利用導(dǎo)數(shù)做出函數(shù)的最值，并且看出取得最值時(shí)，自變量的取值．

解答 解：欲使材料最省，即為表面積最小，設(shè)圓柱面半徑為R（m），高為h（m）
則h=$\frac{500}{π{R}^{2}}$
材料的面積S=πR²+2πR×$\frac{500}{π{R}^{2}}$=πR²+$\frac{1000}{R}$（R＞0）
求導(dǎo)有S′=2πR-$\frac{1000}{{R}^{2}}$
令S'（R）=0得R=$\root{3}{\frac{500}{π}}$，此時(shí)h=$\root{3}{\frac{500}{π}}$，
得到函數(shù)在（0，$\root{3}{\frac{500}{π}}$）上單調(diào)遞減，在（$\root{3}{\frac{500}{π}}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)R=h=$\root{3}{\frac{500}{π}}$，2R=2$\root{3}{\frac{500}{π}}$時(shí)，所用的材料最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是寫出表面積的表示式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，本題是一個(gè)中檔題目．