Question

13．已知四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1），易證AE+CF=EF；

（1）當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，在圖2的情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；
（2）在圖3的情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析 （1）將RT△ABE順時針旋轉(zhuǎn)120°，可得FG=CG+CF=AE+CF，易證∠GBF=∠EBF=60°，即可求證△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解題；
（2）將RT△ABE順時針旋轉(zhuǎn)120°，可得FG=CG-CF=AE-CF，易證∠GBF=∠EBF=60°，即可求證△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解題．

解答 解：（1）如圖2，將RT△ABE順時針旋轉(zhuǎn)120°，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A點與C點重合，
∴BG=BE，F(xiàn)G=CG+CF=AE+CF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠ABE=∠CBG，
∴∠GBF=60°，
在△GBF和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBF=∠EBF=60°}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF；
（2）不成立，新結(jié)論為EF=AE-CF．
理由：如圖3，將RT△ABE順時針旋轉(zhuǎn)120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A點與C點重合，∠ABE=∠CBG，
∴BG=BE，F(xiàn)G=CG-CF=AE-CF，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，
∵∠MBN=60°，
∴∠GBF=60°，
在△BFG和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBF=∠EBF=60°}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF=EF，
∴EF=AE-CF．

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了30°角所對直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，本題中求證△BFG≌△BFE是解題的關(guān)鍵．