Question

18．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），M、N為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P為雙曲線上的點(diǎn)，且直線PM、PN斜率分別為k₁、k₂，若k₁•k₂=$\frac{5}{4}$，則雙曲線離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出斜率，將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)代入方程，兩式相減，再結(jié)合k_PM•k_PN=$\frac{5}{4}$，即可求得結(jié)論．

解答 解：由題意，設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（-x₁，-y₁）
∴k_PM•k_PN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
∴兩式相減可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$
∵k_PM•k_PN=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴b=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{3}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線的斜率公式和點(diǎn)差法的運(yùn)用，屬于中檔題．