7．正三棱錐S-ABC，底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？

分析 正三棱錐外接球的球心在它的高上，然后根據(jù)勾股定理解出外接球的半徑；運(yùn)用分割思想，由大的三棱錐的體積等于四個(gè)三棱錐的體積和，即可求出內(nèi)切球的半徑r．

解答 解：由題意，設(shè)正三棱錐S-ABC外接球半徑為R，則
∵球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2，高為1，
∴R2=（$\sqrt{3}$）2+（1-R）2，
∴外接球的半徑為R=2；
設(shè)內(nèi)切球的半徑是r，則
由斜高為$\frac{\sqrt{7}}{2}$，利用等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×1$=$\frac{1}{3}$r×（3×$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{7}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}$）
∴r=$\frac{\sqrt{21}-3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查球與正三棱錐的關(guān)系，通過分割，運(yùn)用體積轉(zhuǎn)換的思想，是解決本題的關(guān)鍵．

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