Question

19．已知關(guān)于x的不等式ax²-（a+1）x+1＜0．
（1）若a=-3，求不等式的解集；
（2）若a∈R，求不等式的解集；
（3）若不等式對x∈（2，3）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=-3，根據(jù)一元二次不等式的解法即可求不等式的解集；
（2）若a∈R，討論a的取值范圍即可求不等式的解集；
（3）若不等式對x∈（2，3）恒成立，利用參數(shù)分離法即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=-3，則不等式等價為-3x²+2x+1＜0，即3x²-2x-1＞0，
解得x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，
即不等式的解集為{x|x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$}；
（2）若a=0，則不等式等價為-x+1＜0，解得x＞1，
若a≠0，則不等式等價為（x-1）（ax-1）=a（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＜0，
若a＜0，則$\frac{1}{a}$＜1，此時不等式等價為（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＞0，解得x＞1或x＜$\frac{1}{a}$，
若a＞0，則不等式等價為（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＜0，
若a=1，則不等式為（x-1）（x-1）＜0，此時不等式無解．
若a＞1，則$\frac{1}{a}$＜1，則不等式的解為$\frac{1}{a}$＜x＜1，
若0＜a＜1，則$\frac{1}{a}$＞1，則不等式的解為1＜x＜$\frac{1}{a}$，
綜上不等式的解集為a=0時，為{x|x＞1}，
若a＜0，不等式的解集為{x|x＞1或x＜$\frac{1}{a}$}，
若a=1，不等式的解集∅．
若a＞1，不等式的解集為（$\frac{1}{a}$，1），
若0＜a＜1，則不等式的解為（1，$\frac{1}{a}$）．
（3）若不等式對x∈（2，3）恒成立，
則此時不等式（ax²-x）＜x-1，
即ax（x-1）＜x-1，
∵x∈（2，3），∴x-1∈（1，2），
∴不等式等價為ax＜1，
即a＜$\frac{1}{x}$恒成立，
∵$\frac{1}{x}$∈（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴a≤$\frac{1}{3}$，
即a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{3}$]．

點評 本題主要考查含參不等式的解法以及不等式恒成立問題，利用分類討論是解決本題的關(guān)鍵．