Question

3．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MB}$的值為2．

Answer 1

分析 由已知畫(huà)出圖形，把$\overrightarrow{AM}、\overrightarrow{MB}$都用$\overrightarrow{CB}、\overrightarrow{CA}$表示，展開(kāi)后代入數(shù)量積公式求值．

解答 解：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，且$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，

∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MB}$=$（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}）•（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}）$=$（-\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{CB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}）$
=$（\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}）$=$\frac{2}{9}|\overrightarrow{CB}{|}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$
=$\frac{2}{9}|\overrightarrow{CB}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|cos60°+\frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$=$\frac{2}{9}×9-\frac{1}{2}×3×3×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×{3}^{2}=2$．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查平面向量基本定理的應(yīng)用，是中檔題．