Question

15．已知在數(shù)列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{3}$，且S_n=n（2n-1）a_n．
（Ⅰ）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，可求得a₂，再由a₂的值求a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（Ⅱ）猜想檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=6a₂，解得a₂=$\frac{1}{15}$；
當(dāng)n=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=15a₃，解得a₃=$\frac{1}{35}$；
當(dāng)n=4時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄=28a₄，解得a₄=$\frac{1}{63}$．
（Ⅱ）∴a₁=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{1×3}$，a₂=$\frac{1}{15}$=$\frac{1}{3×5}$，a₃=$\frac{1}{35}$=$\frac{1}{5×7}$，a₄=$\frac{1}{63}$=$\frac{1}{7×9}$，
故猜想a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由已知顯然成立
②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$
當(dāng)n=k+1時(shí)，∵S_k+1=S_k+a_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1，…（﹡）
又S_k=k（2k-1）a_k=k（2k-1）•$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{k}{2k+1}$代入（﹡）式得$\frac{k}{2k+1}$+a_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1，
解得a_k+1=$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$，由以上歸納證明可知猜想成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．