Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四邊形ABCD是矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．

（Ⅰ）若點E是PC的中點，求證：PA∥平面BDE；

（Ⅱ）若點F在線段PA上，且FA=λPA，當三棱錐B﹣AFD的體積為時，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ平面BDE，PA平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，進一步利用求得最后利用平行線分線段成比例求出λ的值

試題解析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，

又EQ平面BDE，PA平面BDE．所以PA∥平面BDE

（Ⅱ）解：依據(jù)題意可得：PA=AB=PB=2，取AB中點O，

所以PO⊥AB，且 又平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；

作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，因為四邊形ABCD是矩形，

所以BC⊥平面PAB，則△PBC為直角三角形，

所以，則直角三角形△ABD的面積為，

由FM∥PO得：