Question

【題目】已知橢圓C： +=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓C的長軸長為4．

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線l：y=kx+與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得：，解得a，b，c值，可得橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A，B，將直線l 的方程代入，利用韋達(dá)定理，及向量垂直的充要條件，可求出滿足條件的k值

試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得：，

解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，

故所求橢圓C的方程為+x2=1．

（2）存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．

理由如下：

設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

將直線l 的方程y=kx+代入+x2=1，

并整理，得（k2+4）x2+2 kx﹣1=0．（*）

則x1+x2=﹣，x1x2=﹣．

因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，

所以=0，即x1x2+y1y2=0．

又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，

于是﹣﹣+3=0，解得k=±，

經(jīng)檢驗(yàn)知：此時（*）式的△＞0，符合題意．

所以當(dāng)k=±時，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．