Question

17．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，長軸長為4，一條準(zhǔn)線方程為x=-4

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求橢圓C被直線y=x+1截得的弦長；
（3）已知點A為橢圓的左頂點，過點A作斜率為k₁，k₂的兩條直線與橢圓分別交于點P，Q，若k₁•k₂=-1，證明：直線PQ過定點，并求出定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由條件利用橢圓的定義、性質(zhì)，求出a、b的值，可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）把y=x+1代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用韋達定理、弦長公式求得橢圓C被直線y=x+1截得的弦長．
（3）設(shè)出PA的方程，并把它代入橢圓的方程，求得P、Q的坐標(biāo)，可得PQ的斜率，可得直線PQ的方程，從而得到直線PQ經(jīng)過定點．

解答 解：（1）由題意可得2a=4，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）把y=x+1代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得7x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁•x₂=-$\frac{8}{7}$，
故弦長為$\sqrt{{1+k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{64}{49}+\frac{4×8}{7}}$=$\sqrt{2}$•$\frac{12\sqrt{2}}{7}$=$\frac{24}{7}$．
（3）由題意可得A（-2，0），設(shè)直線PA斜率為k，∴PA方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程可得 （3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，求得：x=$\frac{6-{8k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$，或 x=$\frac{{6k}^{2}-8}{3{+4k}^{2}}$，
可得  $P（\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，\frac{12k}{{3+4{k^2}}}）$，$Q（\frac{{6{k^2}-8}}{{4+3{k^2}}}，\frac{-12k}{{4+3{k^2}}}）$．
當(dāng)k≠±1時，求得PQ的斜率 ${k_{PQ}}=\frac{7k}{{4（1-{k^2}）}}$，
可得PQ方程為$y-\frac{12k}{{3+4{k^2}}}=\frac{7k}{{4（1-{k^2}）}}（x-\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}）$，令y=0，求得x=-$\frac{2}{7}$，故當(dāng)k≠±1時，直線PQ經(jīng)過點（-$\frac{2}{7}$，0），
綜上可得，直線PQ經(jīng)過點（-$\frac{2}{7}$，0）．

點評 本題主要考查橢圓的定義、性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，考查計算能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．