Question

14．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{x{+∫}_{0}^{m}3{t}^{2}dt，x≤0}\end{array}\right.$，若f（f（1））=8則（x²-$\frac{1}{x}$）^m+4展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為15．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)的意義可得f（1），再利用微積分基本定理解得m．再利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵f（1）=ln1=0，
∴f（f（1））=f（0）=0+${∫}_{0}^{m}$3t²dt=${t}^{3}{|}_{0}^{m}$=m³-0，
∴m³=8，解得m=2．
$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{6}$的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}（{x}^{2}）^{6-r}$$（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{6}^{r}$x^12-3r，
令12-3r=0，解得r=4．
∴（x²-$\frac{1}{x}$）^m+4展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)=$（-1）^{4}{∁}_{6}^{4}$=$\frac{6×5}{2}$=15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式、微積分基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．