Question

9．已知P是圓C：x²+y²=4上的動點，P在x軸上的射影為P′，點M滿足$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MP}$，當P在圓C上運動時，點M形成的軌跡為曲線E
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點A（0，2）的直線l與曲線E相交于點C，D，并且$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AD}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用代入法，求曲線E的方程；
（Ⅱ）分類討論，設直線l：y=kx+2與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，向量得出坐標關系，求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答 解：（I）設M（x，y），則P（x，2y）在圓x²+4y²=4上，如圖1，
所以x²+4y²=4，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…..（4分）
（II）經(jīng)檢驗，當直線l⊥x軸時，題目條件不成立，所以直線l存在斜率如圖2．
設直線l：y=kx+2．設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.⇒（1+4{k^2}）{x^2}+16kx+12=0$．…（6分）
△=（16k）²-4（1+4k²）•12＞0，得${k^2}＞\frac{3}{4}$．
${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}$…．①，${x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$…②．…（8分）
又由$\overrightarrow{AC}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}$，得${x_1}=\frac{3}{5}{x_2}$，
將它代入①，②得k²=1，k=±1（滿足${k^2}＞\frac{3}{4}$）．
所以直線l的斜率為k=±1．所以直線l的方程為y=±x+2…（12分）

點評 本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理、向量知識的運用，屬于中檔題．