Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，過AD的平面分別交PB，PC于M，N兩點．
（Ⅰ）求證：MN∥BC；
（Ⅱ）若M，N分別為PB，PC的中點，
①求證：PB⊥DN；
②求二面角P-DN-A的余弦值．

Answer 1

分析 （I）推導出BC∥AD，從而BC∥平面ADNM，由此能證明MN∥BC．
（II）①推導出PB⊥MA，DA⊥AB，從而DA⊥PA．再由PB⊥DA，得PB⊥平面ADNM，由此能證明PB⊥DN．
②以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz利用向量法能求出二面角P-DN-A的余弦值．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（I）因為底面ABCD為直角梯形，所以BC∥AD．
因為BC?平面ADNM，AD?平面ADNM，
所以BC∥平面ADNM．…（2分）
因為BC?平面PBC，平面PBC∩平面ADNM=MN，
所以MN∥BC．…（4分）
（II）①因為M，N分別為PB，PC的中點，PA=AB，
所以PB⊥MA．…（5分）
因為∠BAD=90°，所以DA⊥AB．
因為PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA．
因為PA∩AB=A，所以DA⊥平面PAB．所以PB⊥DA．…（7分）
因為AM∩DA=A，所以PB⊥平面ADNM，
因為DN?平面ADNM，所以PB⊥DN．…（9分）
解：②如圖，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．…（10分）
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．…（11分）
由（II）知，PB⊥平面ADNM，所以平面ADNM的法向量為$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，2）．…（12分）
設(shè)平面PDN的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
因為$\overrightarrow{PC}=（2，1，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-2z=0}\end{array}\right.$．
令z=2，則y=2，x=1．所以$\overrightarrow{n}$=（1，2，2），
所以cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
所以二面角P-DN-A的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．…（14分）

點評 本題考查線線平行、線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．