Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax（a＞0，a≠1）
（1）若函數(shù)f（x）在[e，e²]上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；
（2）?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f（x₂）成立”可化為“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤f'（x）_max+a”；而知f′（x）_max=$\frac{1}{4}$-a，可化為“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤$\frac{1}{4}$”，分①a≥$\frac{1}{4}$，②a＜兩種情況討論：當(dāng)a＜$\frac{1}{4}$時(shí)易求f（x）_min，當(dāng)a＜$\frac{1}{4}$時(shí)可求得f′（x）的值域?yàn)閇-a，$\frac{1}{4}$-a]，再按（i）-a≥0，（ii）-a＜0兩種情況討論即可

解答 解：（1）∵f（x）在[e，e²]上為單調(diào)增函數(shù)，
∴f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$-a≥0在[e，e²]恒成立，
∴a≤$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$在[e，e²]恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，
則g′（x）=$\frac{lnx（2-lnx）}{xl{n}^{4}x}$，
令g′（x）≤0，即x∈[1，e²]，
∴g（x）在[e，e²]上為單調(diào)減函數(shù)，
∴g（x）_min=g（e²）=$\frac{1}{4}$，
∴a≤$\frac{1}{4}$；
故a的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$]．
（2）“若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立”等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，
由（1），當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，f′（x）_max=$\frac{1}{4}$-a，
∴f′（x）_max+a=$\frac{1}{4}$，
問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤$\frac{1}{4}$”，
①當(dāng)a≥$\frac{1}{4}$時(shí)，由（1）知，f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，
則f（x）_min=f（e²）=$\frac{{e}^{2}}{2}$-ae²≤$\frac{1}{4}$，故a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$；
②當(dāng)a＜$\frac{1}{4}$時(shí)，由于f′（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
故f′（x）的值域?yàn)閇f′（e），f′（e²）]，即f′（x）的值域?yàn)閇-a，$\frac{1}{4}$-a]，
（i）若-a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e²]上恒成立，故f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
于是，f（x）_min=f（e）=e-ae≥e＞$\frac{1}{4}$，不合題意；
（ii）（ii）若-a＜0，即0＜a＜$\frac{1}{4}$，
由f′（x）的單調(diào)性和值域知，
?唯一x₀∈（e，e²），使f′（x₀）=0，且滿(mǎn)足：
當(dāng)x∈（e，x₀）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₀，e2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
∴f（x）_min=f（x₀）=$\frac{{x}_{0}}{ln{x}_{0}}$-ax₀≤$\frac{1}{4}$；x₀∈（e，e2），
∴a≥$\frac{1}{ln{x}_{0}}$-$\frac{1}{4{x}_{0}}$＞$\frac{1}{ln{e}^{2}}$-$\frac{1}{4e}$＞$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
與0＜a＜$\frac{1}{4}$矛盾，不合題意．
綜上，a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．