Question

3．如圖，已知點(diǎn)D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，$\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{DC}$，E_n（n∈N₊）為邊AC上的一列點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{{E_n}A}=\frac{1}{4}{a_{n+1}}\overrightarrow{{E_n}B}-（3{a_n}+2）\overrightarrow{{E_n}D}$，其中實(shí)數(shù)列{a_n}中
a_n＞0，a₁=1，則{a_n}的通項(xiàng)公式為（　�。�

• A． 2•3^n-1-1
• B． 2ⁿ-1
• C． 3ⁿ-2
• D． 3•2^n-1-2

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{DC}$，可得$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}B}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，設(shè)m$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\overrightarrow{{E}_{n}A}$，利用$\overrightarrow{{E_n}A}=\frac{1}{4}{a_{n+1}}\overrightarrow{{E_n}B}-（3{a_n}+2）\overrightarrow{{E_n}D}$，可得$\frac{1}{3}m$=$\frac{1}{4}$a_n+1，$\frac{2}{3}$m=-（3a_n+2），即$\frac{1}{4}$a_n+1=-$\frac{1}{2}$（3a_n+2），證明{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即可得出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)?\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{DC}$，
所以$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}B}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，
設(shè)m$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\overrightarrow{{E}_{n}A}$，則
因?yàn)?\overrightarrow{{E_n}A}=\frac{1}{4}{a_{n+1}}\overrightarrow{{E_n}B}-（3{a_n}+2）\overrightarrow{{E_n}D}$，
所以$\frac{1}{3}m$=$\frac{1}{4}$a_n+1，$\frac{2}{3}$m=-（3a_n+2），
所以$\frac{1}{4}$a_n+1=-$\frac{1}{2}$（3a_n+2），
所以a_n+1+1=3（a_n+1），
因?yàn)閍₁+1=2，
所以{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+1=2•3^n-1，
所以a_n=2•3^n-1-1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與向量的綜合，考查三點(diǎn)共線，考查等比數(shù)列的證明，證明{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵．