Question

6．已知遞增等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列
（Ⅰ）求{a_n}通項(xiàng)公式
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n+2，且b₁=2，設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）設(shè)遞增等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，由a₁=2，a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）}\end{array}\right.$，解得即可．
（II）b_n+1-b_n=a_n+2=2（n+1），且b₁=2，利用“累加求和”可得b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （I）解：設(shè)遞增等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，
∵a₁=2，a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）證明：∵b_n+1-b_n=a_n+2=2（n+1），且b₁=2，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2=$2×\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．
∴T_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“累加求和”、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．