19.在矩形ABCD中,AB=$\sqrt{5}$,BC=$\sqrt{3}$,P為矩形內(nèi)一點,且AP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$(λ,μ∈R),則$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ的最大值為$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

分析 建立平面直角坐標系,分別求得A,B,C和D點坐標,由P點滿足約束條件,由x+y=$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ,即可求得$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ的最大值.

解答 解:如圖,設P(x,y),B($\sqrt{5}$,0),C($\sqrt{5}$,$\sqrt{3}$),D(0,$\sqrt{3}$),
∵AP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,

∴x2+y2=$\frac{5}{4}$,
點P滿足的約束條件為:$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\sqrt{5}}\\{0≤y≤\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$,
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$(λ,μ∈R),
∴(x,y)=λ($\sqrt{5}$,0)+μ(0,$\sqrt{3}$),
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}λ}\\{y=\sqrt{3}μ}\end{array}\right.$,
∴x+y=$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ,
∵x+y≤$\sqrt{2}$(x2+y2)=$\sqrt{2×\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,
當且僅當x=y時取等號,
∴$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ=x+y的最大值為$\frac{\sqrt{10}}{2}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

點評 本題考查代數(shù)式的最大值的求法,解題時要認真審題,注意數(shù)形結合思想的合理運用,屬于中檔題.

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