Question

7．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)．
求：（1）$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的值；
（2）$\overrightarrow{AE}$與$\overrightarrow{AF}$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，以及兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的值．
（2）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得$\overrightarrow{AE}$與$\overrightarrow{AF}$夾角的余弦值．

解答 解：（1）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{2}$）•（$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{2}$+$\frac{{\overrightarrow{AD}}^{2}}{2}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{4}{2}$+$\frac{4}{2}$+0=4．
（2）設(shè)$\overrightarrow{AE}$與$\overrightarrow{AF}$夾角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．