【題目】如圖,在直三棱柱中, , ,點是的中點.
①求證: .
②求點到平面的距離.
③求二面角的余弦值的大。
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】試題分析:(1)由等腰三角形得,由平面得,故而可得平面,最后得結(jié)論;(2)點到平面的距離為.通過轉(zhuǎn)化,求點到平面的距離;(3)以為坐標(biāo)原點, , , 為, , 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出面和面的法向量,計算法向量的夾角,根據(jù)圖可判斷二面角為銳角,故可得角的大小.
試題解析:(1)∵在等腰中, 為斜邊中點,∴,又∵在直三棱柱中, 平面, 平面,∴ ,∵點, 、平面,∴平面, 平面,∴.
(2)設(shè)點到平面的距離為,在三棱錐中,∵,且平面,∴,易求得, ,∴,即點到平面的距離是
(3)如圖,
以為坐標(biāo)原點, , , 為, , 軸,建立空間直角坐標(biāo)系, , , , , , , , .設(shè)平面的一個法向量, , ,設(shè)平面的一個法向量, , ,∴,由圖知,所求二面角為銳角,余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角,A,B,C對邊的邊長分別為a,b,c,且acosB﹣bcosA= c.
(1)求 的值;
(2)求tan(A﹣B)的最大值.
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【題目】如圖,四邊形為菱形, , 與相交于點, 平面, 平面, , 為中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)當(dāng)直線與平面所成角為時,求異面直線與所成角的余弦值.
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【題目】小明計劃在8月11日至8月20日期間游覽某主題公園,根據(jù)旅游局統(tǒng)計數(shù)據(jù),該主題公園在此期間“游覽舒適度”(即在園人數(shù)與景區(qū)主管部門核定的最大瞬時容量之比, 以下為舒適, 為一般, 以上為擁擠),情況如圖所示,小明隨機選擇8月11日至8月19日中的某一天到達該主題公園,并游覽天.
(1)求小明連續(xù)兩天都遇上擁擠的概率;
(2)設(shè)是小明游覽期間遇上舒適的天數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大?(結(jié)論不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形中,點分別是的中點,與交于點,點分別在線段上,且.將分別沿折起,使點重合于點,如圖2所示.
(1)求證:平面;
(2)若正方形的邊長為4,求三棱錐的內(nèi)切球的半徑.
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:Sn=n2 , 等比數(shù)列{bn}滿足:b2=2,b5=16
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn .
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【題目】中石化集團獲得了某地深海油田塊的開采權(quán),集團在該地區(qū)隨機初步勘探了部分幾口井,取得了地質(zhì)資料,進入全面勘探時期后,集團按網(wǎng)絡(luò)點米布置井位進行全面勘探,由于勘探一口井的費用很高,如果新設(shè)計的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質(zhì)資料,不必打這口斷井,以節(jié)約勘探費用,勘探初期數(shù)據(jù)資料見下表:
井號 | ||||||
坐標(biāo) | ||||||
鉆探深度 | ||||||
出油量 |
(1)~號舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為,求,并估計的預(yù)報值;
(2)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井,若通過號并計算出的的值(精確到)與(1)中的值差不超過,則使用位置最接近的已有舊井,否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井?
(參考公式和計算結(jié)果:)
(3)設(shè)出油量與勘探深度的比值不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有口井中任意勘探口井,求勘探優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司即將推車一款新型智能手機,為了更好地對產(chǎn)品進行宣傳,需預(yù)估市民購買該款手機是否與年齡有關(guān),現(xiàn)隨機抽取了50名市民進行購買意愿的問卷調(diào)查,若得分低于60分,說明購買意愿弱;若得分不低于60分,說明購買意愿強,調(diào)查結(jié)果用莖葉圖表示如圖所示.
(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為市民是否購買該款手機與年齡有關(guān)?
購買意愿強 | 購買意愿弱 | 合計 | |
20~40歲 | |||
大于40歲 | |||
合計 |
(2)從購買意愿弱的市民中按年齡進行分層抽樣,共抽取5人,從這5人中隨機抽取2人進行采訪,求這2人都是年齡大于40歲的概率.
附:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且an和Sn滿足:4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…),
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn= ,求{bn}的前n項和Tn .
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