Question

【題目】如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，且．將分別沿折起，使點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖2所示.

（1）求證：平面；

（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)重合于點(diǎn)（該點(diǎn)記為），由原圖可知，三條直線兩兩垂直，那么平面,又根據(jù)圖中給的比例關(guān)系，可知,根據(jù)平行關(guān)系可知,平行線與同一平面垂直，即證明；(2)因?yàn)閮?nèi)切球的球心到三棱錐的四個(gè)面的距離相等，所以可將三棱錐的體積分為四個(gè)小三棱錐的體積和，而每一個(gè)小三棱錐的高就是內(nèi)切球的半徑，這樣根據(jù)體積和可求得內(nèi)切球的半徑.

試題解析：（1）在正方形中，為直角，

∴在三棱錐中，三條線段兩兩垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∵，即，∴在中，．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）正方形邊長(zhǎng)為4．

由題意，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

設(shè)三棱錐內(nèi)切球半徑為．

則三棱錐的體積

∴．

∴三棱錐的內(nèi)切球的半徑為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分