Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=4

2

．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P為曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）求得橢圓上的點(diǎn)P(

3

cosα，sinα)到直線x+y-8=0的距離為d=

| 3 cosα+sinα-8|

2

=

|2sin(α+ π 3 )-8|

2

，可得d的最小值，以及此時(shí)的α的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由曲線C₁：

x= 3 cosα y=sinα

，可得

x 3 =cosα y=sinα

，兩式兩邊平方相加得：(

x

3

)2+y2=1，
即曲線C₁的普通方程為：

x2

3

+y2=1．
由曲線C₂：ρsin(θ+

π

4

)=4

2

得：

2

2

ρ(sinθ+cosθ)=4

2

，
即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y-8=0，
即曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為：x+y-8=0．
（2）由（1）知橢圓C₁與直線C₂無公共點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P(

3

cosα，sinα)到直線x+y-8=0的距離為d=

| 3 cosα+sinα-8|

2

=

|2sin(α+ π 3 )-8|

2

，
∴當(dāng)sin(α+

π

3

)=1時(shí)，d的最小值為3

2

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

3

2

，

1

2

)．

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．