Question

15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$\frac{cosB-2cosA}{cosC}$=$\frac{2a-b}{c}$
（1）求$\frac{a}$的值；
（2）若角A是鈍角，且c=3，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得sinA=2sinB，由正弦定理可求$\frac{a}=2$．
（2）由已知及余弦定理可得$b＞\sqrt{3}$，利用三角形兩邊之和大于第三邊可得b＜3，即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由正弦定理∵sinCcosB-2sinCcosA=2sinAcosC-sinBcosC，
∴sinCcosB+sinBcosC=2（sinCcosA+sinAcosC），
∴sin（B+C）=2sin（A+C），
∵A+B+C=π，
∴sinA=2sinB，
∴$\frac{a}=2$．…．（5分）
（2）由余弦定理可得：$cosA=\frac{{{b^2}+9-{a^2}}}{2b•3}=\frac{{{b^2}+9-4{b^2}}}{18b}=\frac{{9-3{b^2}}}{18b}＜0$，
∴$b＞\sqrt{3}$，①…（8分）
∵b+c＞a，
∴b+3＞2b，
∴b＜3，②…（10分）
由①②得b的范圍是$（{\sqrt{3}，3}）$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理以及三角形兩邊之和大于第三邊等知識的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．