Question

17．已知F₁、F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，過點F₂且垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠F₁PF₂=45°，求此雙曲線的漸近線的方程．

Answer 1

分析 先將x=c帶人雙曲線方程，求出${y}^{2}=\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，而根據(jù)∠F₁PF₂=45°知道△PF₁F₂為等腰直角三角形，從而得到$4{c}^{2}=\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，通過該式解出$\frac{a}=\sqrt{2+2\sqrt{2}}$，這樣即可求得該雙曲線的漸近線方程．

解答 解：如圖，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$得，${y}^{2}=\frac{^{4}}{{a}^{2}}$；
∵∠F₁PF₂=45°；
∴|F₁F₂|=|PF₂|；
∴$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{2}{|}^{2}$；
∴$4{c}^{2}=\frac{^{4}}{{a}^{2}}$；
∴4（a²+b²）a²=b⁴；
∴4a⁴+4a²b²-b⁴=0；
∴$（\frac{a}）^{4}-4（\frac{a}）^{2}-4=0$；
$\frac{a}=\sqrt{2+2\sqrt{2}}$；
∴此雙曲線的漸近線方程為y=$±\sqrt{2+2\sqrt{2}}x$．

點評 考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的焦點及焦距，一元二次方程的求根公式，雙曲線的漸近線方程的概念及求法．