Question

5．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=2x上相異的兩點(diǎn)，且在x軸同側(cè)，點(diǎn)C（1，0）．若直線AC，BC的斜率互為相反數(shù)，則y₁y₂=2．

Answer 1

分析 運(yùn)用A，B在拋物線上，滿足拋物線方程，再由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得，y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
k_AC=$\frac{{y}_{1}-0}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}-1}$，k_BC=$\frac{{y}_{2}-0}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}-1}$，
若直線AC，BC的斜率互為相反數(shù)，
則k_AC+k_BC=0，
即為$\frac{2{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-2}$+$\frac{2{y}_{2}}{{{y}_{2}}^{2}-2}$=0，
即y₁y₂²-2y₁+y_i²y₂-2y₂=0，
即為（y₁y₂-2）（y₁+y₂）=0，
由于y₁y₂＞0，即y₁y₂=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運(yùn)用，以及直線的斜率公式，考查化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．