Question

5．線段AB與平面α平行，α的斜線A₁A、B₁B與α所成的角分別為30°和60°，且∠A₁AB=∠B₁BA=90°，AB=2，A₁B₁=4，求AB與平面α的距離．

Answer 1

分析 求直線到平面的距離常轉化為求點到平面的距離．作AG⊥α于點G，BH⊥α于點H，連接A₁G、B₁H、GH，作B₁C⊥A₁G于點C，則通過解三角形可得AG的長度．另外，此題還要考慮到當A₁、B₁分居平面AH兩側時，AG的長度．故本題AB與平面α的距離有兩個答案．

解答 解：如圖，作AG⊥α于點G，BH⊥α于點H
連接A₁G、B₁H、GH，
∵A₁A⊥AB，
∴A₁G⊥GH．
同理，B₁H⊥GH．
作B₁C⊥A₁G于點C，則B₁C=GH=AB=2，∠AA₁G=30°，∠BB₁H=60°．
設B₁H=x，則CG=B₁H=x，AG=BH=$\sqrt{3}$x，A₁G=3x=x+A₁C=x+$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$．
所以x=$\sqrt{3}$，AG=BH=3．
當A₁、B₁分居平面AH兩側時，類似可得AG=BH=$\frac{3}{2}$．
故求AB與平面α的距離為3或$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查直線到平面的距離、點到平面的距離、直線與平面所成的角等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．