Question

4．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{3t}{5}\\ y=-1+\frac{4t}{5}\end{array}\right.$（t為參數），曲線C的極坐標方程為$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C交于M、N兩點，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）由直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{3t}{5}\\ y=-1+\frac{4t}{5}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t即可化為普通方程．曲線C的極坐標方程為$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，展開化為ρ²=$\sqrt{2}×（\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ）$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）把l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程中可得：${t^2}-\frac{21}{5}t+4=0$，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）由直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{3t}{5}\\ y=-1+\frac{4t}{5}\end{array}\right.$（t為參數），
化為普通方程為4x-3y+1=0．
曲線C的極坐標方程為$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，展開化為ρ²=$\sqrt{2}×（\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ）$，
∴直角坐標方程為：x²+y²=x+y，
配方為：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）把l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程中可得：
${t^2}-\frac{21}{5}t+4=0$，
$則{t_1}+{t_2}=\frac{21}{5}，{t_1}{t_2}=4$．
∴$|{MN}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{\sqrt{41}}}{5}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．