Question

13．將一個(gè)四面體PABC鐵皮盒沿側(cè)棱PA，PB，PC剪開，展平后恰好成一個(gè)正三角形．
（Ⅰ）在四面體PABC中，求證：PA⊥BC．
（Ⅱ）若$PA=\sqrt{2}$，求鐵皮盒的容積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）四面體PABC為正四面體，取BC的中點(diǎn)O，連接PO，AO，則PO⊥BC，AO⊥BC，可得BC⊥平面PAO，即可證明PA⊥BC．
（Ⅱ）$PA=\sqrt{2}$，則四面體PABC的底面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，高為$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，利用體積公式，即可求鐵皮盒的容積．

解答 （Ⅰ）證明：∵將一個(gè)四面體PABC鐵皮盒沿側(cè)棱PA，PB，PC剪開，展平后恰好成一個(gè)正三角形，
∴四面體PABC為正四面體，
取BC的中點(diǎn)O，連接PO，AO，則PO⊥BC，AO⊥BC，
又∵PO∩AO=O，
∴BC⊥平面PAO，
∵PA?平面PAO，
∴PA⊥BC．
（Ⅱ）解：$PA=\sqrt{2}$，則四面體PABC的底面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，高為$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴鐵皮盒的容積為$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．