Question

4．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a的最大值為1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，若方程g（x）=m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得a，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x），再根據(jù)定義域和值域，以及正弦函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求得m的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a的最大值為1，∴2+a=1，∴a=-1，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的圖象，
若方程g（x）=m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，則g（x）的圖象和直線y=m有2個交點．
設(shè)t=2x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，則g（x）=h（t）=sint的圖象和直線y=m有2個交點，如圖所示：
則-2＜m≤-$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．