Question

12．等腰直角三角形斜邊所在直線的方程是3x-y=0，一條直角邊所在直線l的斜率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點(diǎn)（4，-2），且此三角形的面積為10，求此直角三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 設(shè)出等腰三角形頂點(diǎn)為A，斜邊所在直線L₁為：y=3x，一條直角邊所在直線L₂為：y=kx+b，L₁與L₂交于點(diǎn)B，求出B的坐標(biāo)，設(shè)直角邊長(zhǎng)為m，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，得到關(guān)于x的方程，解出即可．

解答 解：設(shè)此等腰三角形頂點(diǎn)為A，
斜邊所在直線L₁為：y=3x，
一條直角邊所在直線L₂為：y=kx+b，L₁與L₂交于點(diǎn)B，
由L₂過點(diǎn)（4，-2）且斜率為$\frac{1}{2}$，代入其解析式，
得-2=$\frac{1}{2}$×4+b，解得b=-4，
則L₂解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4，
解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=\frac{1}{2}x-4}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=-\frac{24}{5}}\end{array}\right.$，
即B點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{24}{5}$）
要求A點(diǎn)坐標(biāo)，即為求直線L₂上到B點(diǎn)距離等于此三角形直角邊的長(zhǎng)度的點(diǎn)，
設(shè)直角邊長(zhǎng)為m，由此等腰三角形面積為10，得：
m²=20，m=$\sqrt{20}$，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$x-4），則（根據(jù)直角坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式）
（x+$\frac{8}{5}$））²+（（$\frac{1}{2}$x-4）+$\frac{24}{5}$）²=m²=20，
解得，x=$\frac{12}{5}$或-$\frac{28}{5}$，
所以，A（$\frac{12}{5}$，-$\frac{14}{5}$）或（-$\frac{28}{5}$，-$\frac{34}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程問題，考查兩點(diǎn)間的距離公式，是一道中檔題．