1.如圖,△ABC為直角三角形,∠ABC=90°,以AB為直徑的圓交AC與點E,點D是BC邊的中點,連接OD交圓于點M,求證:
(1)O、B、D、E四點共圓;
(2)2DC2=DM•AC+DM•AB.

分析 (1)做出輔助線,首先證明兩個三角形全等,根據(jù)三角形三邊對應相等,得到兩個三角形全等,得到對應角相等,從而得到四邊形一對對角互補,即四點共圓.
(2)根據(jù)圓的切割線定理,寫出DE,DM,DH三者之間的關系,把DH寫成兩部分的和,然后變化成AC,整理系數(shù)得到結論成立.

解答 解:(1)如圖,連接BE,則BE⊥EC,
又D是BC的中點,所以DE=BD.
又OE=OB,OD=OD,
所以△ODE≌△ODB,
所以∠OBD=∠OED=90°.
故D,E,O,B四點共圓.                         …(5分)
(2)如圖,延長DO交圓于點H,
∵DE2=DM•DH=DM•(DO+OH)=DM•DO+DM•OH,
∴DE2=DM•($\frac{1}{2}$AC)+DM$•(\frac{1}{2}AB)$,即2DE2=DM•AC+DM•AB,
∵DE=$\frac{BC}{2}$=DC,∴2DC2=DM•AC+DM•AB.…(10分)

點評 本題考查三角形全等,考查四點共圓,考查圓的切割線定理,是一個平面幾何的綜合題目,解題時注意分析要證明的結論與條件之間的關系.

練習冊系列答案
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(1)求證:O、B、D、E四點共圓;
(2)求證:D是BC的中點;
(3)求證:2DE2=DM•AC+DM•AB.

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