Question

9．已知定圓C：x²+（y-3）²=4，定直線m；x+3y+6=0，過A（-1，0）的一條動直線l與直線相交于N，與圓C相交于P，Q兩點，
（1）當l與m垂直時，求出N點的坐標，并證明：l過圓心C；
（2）當|PQ|=2$\sqrt{3}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求得l的斜率，可得直線l的方程，聯(lián)立直線m的方程，可得交點N，代入圓心，可得直線l過圓心；
（2）由|PQ|=2$\sqrt{3}$得，圓心C到直線l的距離d=1，設直線l的方程為x-ny+1=0，求得n的值，可得直線l的方程．

解答 解：（1）因為l與m垂直，直線m：x+3y+6=0的斜率為-$\frac{1}{3}$，
所以直線l的斜率為3，
所以l的方程為y-0=3（x+1），即3x-y+3=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+6=0}\\{3x-y+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即有N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
代入圓心（0，3），有0-3+3=0成立，
所以直線l過圓心C（0，3）．
（2）由|PQ|=2$\sqrt{3}$得，圓心C到直線l的距離d=1，
設直線l的方程為x-ny+1=0，則由d=$\frac{|1-3n|}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$=1．
解得n=0，或n=$\frac{3}{4}$，
所以直線l的方程為x+1=0或4x-3y+4=0．

點評 本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，點到直線的距離公式，以及直線和圓相交的弦長公式，屬于中檔題．