Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx
（Ⅰ）求函數(shù)$F（x）=\frac{f（x）}{x}+\frac{1}{2}$的最大值．
（Ⅱ）證明：$\frac{f（x）}{x}+\frac{1}{2}＜x-f（x）$；
（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x對(duì)所有的$m∈[{0，\frac{3}{2}}]，x∈[{1，{e^2}}]$都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（Ⅱ）令h（x）=x-f（x），求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出h（x）的最小值，結(jié)合F（x）的最大值，從而證出結(jié)論即可；
（Ⅲ）利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為以m為變量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）F（x）=$\frac{f（x）}{x}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，F(xiàn)′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令F′（x）＞0，解得：x＜e，令F′（x）＜0，解得：x＞e，
∴F（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
故F（x）_max=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$；
證明：（Ⅱ）令h（x）=x-f（x），則h′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
從而h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴h（x）的最小值是h（1）=1，
又F（x）的最大值是$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1，
∴F（x）＜h（x），
即$\frac{f（x）}{x}$+$\frac{1}{2}$＜x-f（x）；
解：（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x對(duì)所有的m∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈[1，e²]都成立，
則a≤mlnx-x對(duì)所有的m∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈[1，e2]都成立，
令H（x）=mlnx-x，m∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈[1，e2]是關(guān)于m的一次函數(shù)，
∵x∈[1，e²]，
∴l(xiāng)nx∈[0，2]，
∴當(dāng)m=0時(shí)，H（m）取得最小值-x，
即a≤-x，當(dāng)x∈[1，e²]時(shí)，恒成立，
故a≤-e²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及不等式恒成立問題，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．