Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，異面直線AD與BC₁所成角的大小為60°，求：
（1）線段A₁B₁到底面ABCD的距離；
（2）三棱椎B₁-ABC₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由AD∥BC得CBC₁=60°，由已知線段BB₁的長為線段A₁B₁到底面ABCD的距離，由此能求出線段A₁B₁到底面ABCD的距離．
（2）由VB1-ABC1=VA-BB1C1，利用等積法能求出三棱椎的體積．

解答： 解：（1）∵AD∥BC，∴∠CBC₁為異面直線AD與BC₁所成角，
∴CBC₁=60°，…（2分）
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁B₁∥面ABCD，BB₁⊥面ABCD，
∴線段BB₁的長為線段A₁B₁到底面ABCD的距離，…（4分）
∵RT△BCC₁中，BC=1，∠CBC₁=60°，∴BB1=CC1=

3

，
線段A₁，B₁到底面ABCD的距離為

3

．…（6分）
（2）VB1-ABC1=VA-BB1C1…（8分）
=

1

3

×AB×S△BB1C1
=

1

3

×1×(

1

2

×1×

3

)…（10分）
=

3

6

．…（12分）

點評：本題考查線段到平面的距離的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．