Question

已知函數(shù)y=f（x）是函數(shù)y=log₂x的反函數(shù)，
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式．
（Ⅱ）若x∈（0，+∞），試分別寫出使不等式
（�。﹍og₂x＜2^x＜x²
（ⅱ）log₂x＜x²＜2^x成立自變量x的取值范圍
（Ⅲ）求不等式log_a（x-3）＞log_a（5-x）的解集．

Answer 1

考點：反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)指數(shù)對數(shù)函數(shù)的關(guān)系判斷，
（Ⅱ）畫出圖象y=2^x，y=x²，y=log₂x，判斷l(xiāng)og₂x＜2^x＜x²，log₂x＜x²＜2^x，解集．
（Ⅲ）分類當(dāng)a＞1時，

x-3＞0 5-x＞0 x-3＞5-x

當(dāng)0＜a＜1時，

x-3＞0 5-x＞0 x-3＜5-x

，
解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=f（x）是函數(shù)y=log₂x的反函數(shù)，
∴f（x）=2^x，
（Ⅱ）y=2^x，y=x²，y=log₂x，
可得：2²=4，2⁴=4²=16，
（i）∵log₂x＜2^x＜x²
∴2＜x＜4，
解集為：（2，4）
（ii）∵log₂x＜x²＜2^x，
∴0＜x＜2，或x＞4，
解集為：（0，2）∪（4，+∞）
（Ⅲ）∵log_a（x-3）＞log_a（5-x）
∴當(dāng)a＞1時，

x-3＞0 5-x＞0 x-3＞5-x

解得；4＜x＜5，
∴當(dāng)a＞1時，解集為（4，5）
∵當(dāng)0＜a＜1時，

x-3＞0 5-x＞0 x-3＜5-x

，解得；3＜x＜4，
∴當(dāng)0＜a＜1時，解集為（3，4）

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)圖象，不等式的求解，分類討論，屬于中檔題．