Question

如圖，在直線(xiàn)三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，異面直線(xiàn)A₁B與B₁C₁所成的角為60°．

（Ⅰ）求證：AC⊥A₁B；

（Ⅱ）設(shè)D是BB₁的中點(diǎn)，求DC₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）本題關(guān)鍵是證明平面（Ⅱ）

【解析】

試題分析：解:(Ⅰ)三棱柱是直三棱柱,

平面,.

又,平面

平面,

平面,從而.                 

(Ⅱ)如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),為軸正方向,線(xiàn)段長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度,建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè),則,,,

則

由于直線(xiàn)與所成的角為,

所以,.           

,,設(shè)平面的法向量,

,可取.,.     

于是,

所以與平面所成角的正弦值為.

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定定理；直線(xiàn)與平面所成的角

點(diǎn)評(píng)：在立體幾何中，常考的定理是：直線(xiàn)與平面垂直的判定定理、直線(xiàn)與平面平行的判定定理。當(dāng)然，此類(lèi)題目也經(jīng)常要我們求出幾何體的體積和表面積。